Xét các số phức $z,w$ thỏa mãn $\left|z\right|=2$ và $\left(w-3+4i\right)\left(\overline{w}+3+4i\right)$ là số thuần ảo. Khi $\left|z-w\right|=3\sqrt{2}$, giá trị của $\left|2z+w\right|$ bằng

A.  

$\sqrt{41}$.

B.  

$\sqrt{47}$.

C.  

$\sqrt{63}$.

D.  

$4\sqrt{3}$.

Đáp án đúng là: C

• Đặt $w=a+bi,\left(a,b\mathrm{ }\in \text{ℝ}\right)$, $P=\left|2z+w\right|$
• Ta có:
$\left(\text{w}-3+4i\right)\left(\overline{\text{w}}+3+4i\right)=\left(a-3+\left(b+4\right)i\right)\left(a+3+\left(-b+4\right)i\right)$
$\left(\text{w}-3+4i\right)\left(\overline{\text{w}}+3+4i\right)$là số thuần ảo $\Rightarrow a^2+b^2=25\Rightarrow \left|w\right|=5.$
• $\left|z-w\right|=3\sqrt{2}\Rightarrow 18={\left|z-w\right|}^2=\left(z-w\right)\left(\overline{z}-\overline{w}\right)$ $\Rightarrow 18={\left|z\right|}^2-\left(z\overline{w}+\overline{z}w\right)+{\left|w\right|}^2$
$\iff 18=4-\left(z\overline{w}+\overline{z}w\right)+25$ $\Rightarrow z\overline{w}+\overline{z}w=11$
• $P^2={\left|2z+w\right|}^2=\left(2z+w\right)\left(\mathrm{ 2}\overline{z}+\overline{w}\right)$ $=4{\left|z\right|}^2+2\left(z\overline{w}+\overline{z}w\right)+{\left|w\right|}^2=16+22+25=63$
$\Rightarrow$ $P=\sqrt{63}$.