Xét các số phức

thỏa mãn

. Biết rằng biểu thức

đạt giá trị nhỏ nhất khi

. Khi đó, giá trị của hiệu

bằng

Xét các số phức $z$ thỏa mãn $\left| z^{2} - 3 - 4 i \left|\right. = 2 \left|\right. z \left|\right.$. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $\left|\right. z \left|\right.$. Giá trị của $M^{2} + m^{2}$ bằng

Xét các số phức $z , w \left( w \neq 4 \right)$ thỏa mãn $\left| z \left|\right. = 3$ và $\dfrac{w + 4}{w - 4}$ là số thuần ảo. Khi $\left|\right. z - w \left|\right. = \sqrt{13}$, giá trị của $\left|\right. 3 z + 2 w \left|\right.$ bằng

Xét các số phức

Xét các số phức $z,w$ thỏa mãn $\left|z\right|=2$ và $\left(w-3+4i\right)\left(\overline{w}+3+4i\right)$ là số thuần ảo. Khi $\left|z-w\right|=3\sqrt{2}$, giá trị của $\left|2z+w\right|$ bằng

Cho hai số phức  $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn  $\left| z_{1} + 3 + 2i \right| = 1$ và  $\left| z_{2} + 2 - i \right| = 1$. Xét các số phức  $z = a + bi, \textrm{ } (a, b \in \mathbb{R})$ thỏa mãn  $2a - b = 0$. Khi biểu thức  $T = \left| z - z_{1} \right| + \left| z - 2z_{2} \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị biểu thức  $P = 3a^{2} - b^{3}$ bằng

Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số phức $z$ thoả mãn điều kiện $z . \bar{z} = \left|\right. z + \bar{z} \left|\right.$. Xét các số phức $z_{1} , z_{2} \in S$sao cho $\left|\right. z_{1} - z_{2} \left|\right. = 1$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \left|\right. z_{1} - \sqrt{3} i \left|\right. + \left|\right. \left(\bar{z}\right)_{2} + \sqrt{3} i \left|\right.$ bằng

Cho số phức $z$ thoả mãn $\left|\right. \dfrac{\left( 2 - i \right) z - 3 i - 1}{z - i} \left|\right. = 2$. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số phức $\text{w} = \dfrac{1}{i z + 1}$. Xét các số phức $\left(\text{w}\right)_{1} , \left(\text{w}\right)_{2} \in S$ thỏa mãn $\left|\right. \left(\text{w}\right)_{1} - \left(\text{w}\right)_{2} \left|\right. = 2$, giá trị lớn nhất của $P = \left(\left|\right. \left(\text{w}\right)_{1} - 4 i \left|\right.\right)^{2} - \left(\left|\right. \left(\text{w}\right)_{2} - 4 i \left|\right.\right)^{2}$ bằng.

Gọi $S$ là tập hợp các số phức $z = a + b i \textrm{ } \left( a , b \in \mathbb{R} \right)$ thỏa mãn $\left| z + \bar{z} \left|\right. + \left|\right. z - \bar{z} \left|\right. = 6$ và $a b \leq 0 .$ Xét $z_{1}$ và $z_{2}$ thuộc $S$ sao cho $\dfrac{z_{1} - z_{2}}{- 1 + i}$ là số thực dương. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\left|\right. z_{1} + 3 i \left|\right. + \left|\right. z_{2} \left|\right.$ bằng

Trên tập hợp các số phức, xét phương trình $z^{2} - 2 \left( m + 1 \right) z + m^{2} = 0$ ( $m$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của $m$ để phương trình đó có nghiệm $z_{0}$ thỏa mãn $\left|\right. z_{0} \left|\right. = 7 ?$