Xét các số phức

thỏa mãn

. Biết rằng biểu thức

đạt giá trị nhỏ nhất khi

. Khi đó, giá trị của hiệu

bằng

A.  

$\dfrac{- 2 - 2 \sqrt{79}}{13} .$

B.  

$\dfrac{2 + 2 \sqrt{79}}{13} .$

C.  

$\dfrac{- 2 + 2 \sqrt{79}}{13} .$

D.  

$\dfrac{2 - 2 \sqrt{79}}{13} .$

Đáp án đúng là: B

Xét các số phức

thỏa mãn

. Biết rằng biểu thức

đạt giá trị nhỏ nhất khi

. Khi đó, giá trị của hiệu

bằng
A. $\dfrac{- 2 - 2 \sqrt{79}}{13} .$B. $\dfrac{2 + 2 \sqrt{79}}{13} .$C. $\dfrac{- 2 + 2 \sqrt{79}}{13} .$D. $\dfrac{2 - 2 \sqrt{79}}{13} .$
Lời giải

Điểm $M \left(\right. x ; y \right)$biểu diễn số phức $z .$
Theo bài ra ta có $\left| z - i \left|\right. = 2$ $\Rightarrow M I = 2$ $\Rightarrow M \in \left(\right. I ; 2 \right)$ với $I = \left( 0 ; 1 \right)$.
$P = \left| z + 3 i \left|\right. + 2 \left|\right. z - 5 - i \left|\right. = M A + 2 M B$ với $A = \left(\right. 0 ; - 3 \right)$, $B = \left( 5 ; 1 \right)$.
Ta có $I M = 2$; $I A = 4$. $O I = 1$ $\Rightarrow \dfrac{I A}{I M} = \dfrac{I M}{I O} = 2 \Rightarrow \Delta I M O ∼ \Delta I A M \Rightarrow M A = 2 M O .$
Từ đó $P = M A + 2 M B$ $= 2 \left( M O + M B \right) \geq 2 O B .$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $M \equiv M_{0}$, $O$, $B$ thẳng hàng và $M_{O}$ thuộc đoạn thẳng $B O$.
Phương trình đường thẳng $O B : \left{ x = 5 t \\ y = t .$
Tọa độ điểm $M_{O} \left(\right. x ; y \right)$thỏa mãn hệ $\left{ x^{2} + \left(\left(\right. y - 1 \right)\right)^{2} = 4 \\ x = 5 t , y = t , x > 0 \Rightarrow \left{ \left[\right. \begin{matrix}t = \dfrac{1 + \sqrt{79}}{26} \\ t = \dfrac{1 - \sqrt{79}}{26}\end{matrix} \\ x - y = 4 t , t > 0 \Rightarrow x - y = \dfrac{2 + 2 \sqrt{79}}{13} .$