Cho số thực $a$ thỏa mãn giá trị lớn nhất của biểu thức $\left| ln \left(\right. x^{2} + 1 \right) - \dfrac{x^{2}}{2} - a \left|\right.$ trên đoạn $\left[\right. 0 ; \textrm{ } 4 \left]\right.$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, giá trị của $a$ thuộc khoảng nào dưới đây?

Cho hàm số $y = g \left( x \right)$ thỏa mãn $2 g^{3} \left( x \right) - 6 g^{2} \left( x \right) + 7 g \left( x \right) = 3 - \left( 2 x - 3 \right) \sqrt{1 - x}$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = 2 g \left( x \right) + x$

Cho hai số phức  $z$ và  $w$ thỏa mãn:  $z + 2w = 8 + 6i$ và  $|z - w| = 4$. 

Giá trị lớn nhất của biểu thức  $|z| + |w|$ bằng

Cho các số thực $x , y$ thỏa mãn $e^{x^{2} + 2 y^{2}} + e^{x y} \left(\right. x^{2} - x y + y^{2} - 1 \right) - e^{1 + x y + y^{2}} = 0$ . Gọi $M , m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \dfrac{1}{1 + x y}$. Tính $M - m$.

Cho các số thực $x ; \textrm{ } y$ thỏa mãn $e^{x^{2} + 2 y^{2}} + e^{x y} \left( x^{2} - x y + y^{2} - 1 \right) - e^{1 + x y + y^{2}} = 0$. Gọi $M , \textrm{ } m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \dfrac{1}{1 + x y}$. Tính $M - m$:

Cho các số thực $x , y$ thỏa mãn $x . \sqrt[5]{x} . \left(\text{e}\right)^{\dfrac{2 x + 2 y}{5}} \geq \dfrac{2}{5} \left(\text{e}\right)^{x + y} + \dfrac{3}{5} x^{2}$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 3 x^{2} - y$ là

Cho hai số thực $x , y$ thỏa mãn: $9 x^{3} + \left( 2 - y \sqrt{3 x y - 8} \right) x + 2 \sqrt{3 x y - 8} = 0$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = x^{3} + y^{3} + 9 x y + \left( 9 x^{2} + 5 \right) \left( x + y - 3 \right)$ có dạng $\dfrac{a \sqrt{6} + b}{9}$. Tính $T = a + b$.

Cho $a , b$ là hai số thực dương thỏa mãn $2^{a + b + 2 a b - 3} = \dfrac{1 - a b}{a + b}$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = a^{2} + b^{2}$ là

Cho hàm số $y = f \left( x \right)$xác định $R \left{ 0 \right}$ thoả mãn $f^{'} \left( x \right) = \dfrac{x + 1}{x^{2}} , f \left( - 2 \right) = \dfrac{3}{2}$và $f \left( 2 \right) = 2ln2 - \dfrac{3}{2}$.Tính giá trị biểu thức $f \left( - 1 \right) + f \left( 4 \right)$ bằng.

Cho hàm số $f \left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R} \left{ \dfrac{1}{3} \right}$ thoả mãn $f^{'} \left( x \right) = \dfrac{3}{3 x - 1} , f \left( 0 \right) = 1 , f \left( \dfrac{2}{3} \right) = 2$.
Giá trị của biểu thức $f \left( - 1 \right) + f \left( 3 \right)$ bằng