Cho số thực $a$ thỏa mãn giá trị lớn nhất của biểu thức $\left| ln \left(\right. x^{2} + 1 \right) - \dfrac{x^{2}}{2} - a \left|\right.$ trên đoạn $\left[\right. 0 ; \textrm{ } 4 \left]\right.$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, giá trị của $a$ thuộc khoảng nào dưới đây?

A.  

$\left( - 4 ; \textrm{ } - 3 \right)$.

B.  

$\left( - 3 ; \textrm{ } - 2 \right)$.

C.  

$\left( - 2 ; \textrm{ } - 1 \right)$.

D.  

$\left( - 1 ; \textrm{ } 0 \right)$.

Đáp án đúng là: B

Cho số thực $a$ thỏa mãn giá trị lớn nhất của biểu thức $\left| ln \left(\right. x^{2} + 1 \right) - \dfrac{x^{2}}{2} - a \left|$ trên đoạn $\left[\right. 0 ; \textrm{ } 4 \left]\right.$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, giá trị của $a$ thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $\left(\right. - 4 ; \textrm{ } - 3 \right)$. B. $\left( - 3 ; \textrm{ } - 2 \right)$. C. $\left( - 2 ; \textrm{ } - 1 \right)$. D. $\left( - 1 ; \textrm{ } 0 \right)$.
Lời giải
Xét hàm số $f \left( x \right) = ln \left( x^{2} + 1 \right) - \dfrac{x^{2}}{2} - a$ trên đoạn $\left[\right. 0 ; \textrm{ } 4 \left]\right.$.
Ta có $f^{'} \left( x \right) = \dfrac{2 x}{x^{2} + 1} - x$; $f^{'} \left( x \right) = 0 \Rightarrow \left[\right. x = 0 \in \left[\right. 0 ; \textrm{ } 4 \left]\right. \\ x = 1 \in \left[\right. 0 ; \textrm{ } 4 \left]\right.$.
$f \left( 0 \right) = - a ; \textrm{ } f \left( 1 \right) = ln2 - \dfrac{1}{2} - a ; \textrm{ } f \left( 4 \right) = ln17 - 8 - a$.
Ta có $M = \underset{\left[\right. 0 ; \textrm{ } 4 \left]\right.}{m a x} f \left( x \right) = ln2 - \dfrac{1}{2} - a ; \textrm{ }\textrm{ } m = \underset{\left[\right. 0 ; \textrm{ } 4 \left]\right.}{min} f \left( x \right) = ln17 - 8 - a$.
Khi đó $\underset{\left[\right. 0 ; \textrm{ } 4 \left]\right.}{m a x} \left|\right. f \left( x \right) \left|\right. = \dfrac{\left|\right. M + m \left|\right. + \left|\right. M - m \left|\right.}{2} = \dfrac{\left|\right. ln2 + ln17 - \dfrac{17}{2} - 2 a \left|\right. + \left|\right. ln2 - ln17 + \dfrac{15}{2} \left|\right.}{2}$
$\geq \dfrac{ln2 - ln17 + \dfrac{15}{2}}{2} = \dfrac{ln \dfrac{2}{17} + \dfrac{15}{2}}{2}$.
Đạt được khi $ln2 + ln17 - \dfrac{17}{2} - 2 a = 0 \Leftrightarrow a = \dfrac{ln34}{2} - \dfrac{17}{4} \Rightarrow a \in \left( - 3 ; \textrm{ } - 2 \right)$.