Gọi $S$ là tập nghiệm của phương trình $\left(2log\right)_{2} \left( 2 x - 2 \right) + \left(log\right)_{2} \left(\left( x - 3 \right)\right)^{2} = 2$ trên $\mathbb{R}$. Tổng các phần tử của $S$ bằng

A.  

$4 + \sqrt{2} .$

B.  

$8 + \sqrt{2} .$

C.  

$6 .$

D.  

$6 + \sqrt{2} .$

Đáp án đúng là: A

Gọi $S$ là tập nghiệm của phương trình $\left(2log\right)_{2} \left( 2 x - 2 \right) + \left(log\right)_{2} \left(\left( x - 3 \right)\right)^{2} = 2$ trên $\mathbb{R}$. Tổng các phần tử của $S$ bằng
A. $4 + \sqrt{2} .$B. $8 + \sqrt{2} .$C. $6 .$D. $6 + \sqrt{2} .$
Lời giải
Điều kiện xác định của phương trình là $\left{\right. 2 x - 2 > 0 \\ \left(\left( x - 3 \right)\right)^{2} > 0 \Leftrightarrow \left{\right. x > 1 \\ x \neq 3$ (*)
Với điều kiện (*) phương trình $\left(2log\right)_{2} \left( 2 x - 2 \right) + \left(log\right)_{2} \left(\left( x - 3 \right)\right)^{2} = 2$
$\Leftrightarrow \left(log\right)_{2} \left(\left( 2 x - 2 \right)\right)^{2} + \left(log\right)_{2} \left(\left( x - 3 \right)\right)^{2} = 2$
$\Leftrightarrow \left(log\right)_{2} \left[\right. \left(\left( 2 x - 2 \right)\right)^{2} \left(\left( x - 3 \right)\right)^{2} \left]\right. = 2$
$\Leftrightarrow \left(\left[\right. \left( 2 x - 2 \right) \left( x - 3 \right) \left]\right.\right)^{2} = 4$ $\Leftrightarrow \left[\right. \left( 2 x - 2 \right) \left( x - 3 \right) = 2 \\ \left( 2 x - 2 \right) \left( x - 3 \right) = - 2 \Leftrightarrow \left[\right. 2 x^{2} - 8 x + 4 = 0 \textrm{ }\textrm{ } \left( 1 \right) \\ 2 x^{2} - 8 x + 8 = 0 \textrm{ }\textrm{ }\textrm{ } \left( 2 \right)$
Phương trình (1) có các nghiệm $x = 2 + \sqrt{2} \textrm{ }\textrm{ }\textrm{ } \left( N \right) ; \textrm{ }\textrm{ }\textrm{ } x = 2 - \sqrt{2} \textrm{ }\textrm{ }\textrm{ } \left( L \right)$
Phương trình (2) có nghiệm $x = 2 \textrm{ }\textrm{ } \left( N \right)$.
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S = \left{ 2 + \sqrt{2} ; \textrm{ }\textrm{ } 2 \right}$. Tổng các nghiệm bằng $4 + \sqrt{2}$.