Cho hàm số  $f(x) = \log_2 \left( x - \frac{1}{2} + \sqrt{x^2 - x + \frac{17}{4}} \right)$. 
Tính  $T = f \left( \frac{1}{2025} \right) + f \left( \frac{2}{2025} \right) + \ldots + f \left( \frac{2024}{2025} \right)$.

A.  

$$T=\frac{2025}{2}$$.

B.  

$$T=2025$$.

C.  

$$T=2024$$.

D.  

$$T=1012$$.

Đáp án đúng là: C

Cho hàm số  $f(x) = \log_2 \left( x - \frac{1}{2} + \sqrt{x^2 - x + \frac{17}{4}} \right)$. 
Tính  $T = f \left( \frac{1}{2025} \right) + f \left( \frac{2}{2025} \right) + \ldots + f \left( \frac{2024}{2025} \right)$.

Có  $f(a) + f(1 - a) = \log_2 \left( a - \frac{1}{2} + \sqrt{\left( a - \frac{1}{2} \right)^2 + 4} \right) + \log_2 \left( \frac{1}{2} - a + \sqrt{\left( \frac{1}{2} - a \right)^2 + 4} \right) = \log_2 4 = 2$.

Nên  $T = \left( f \left( \frac{1}{2025} \right) + f \left( \frac{2024}{2025} \right) \right) + \left( f \left( \frac{2}{2025} \right) + f \left( \frac{2023}{2025} \right) \right) + \ldots + \left( f \left( \frac{1012}{2025} \right) + f \left( \frac{1013}{2025} \right) \right) = 2 \cdot 1012 = 2024$.

Diễn giải: 
Chúng ta có một tính chất đặc biệt của hàm số  $f(x)$ là tổng của  $f(a)$ và  $f(1 - a)$ luôn bằng 2. 
Do đó, ta có thể cặp các giá trị  $f \left( \frac{k}{2025} \right)$ và  $f \left( \frac{2025 - k}{2025} \right)$ lại với nhau. 
Tổng của mỗi cặp này là 2. 
Vì có 1012 cặp giá trị như vậy, nên tổng của tất cả các giá trị  $T$ là: 
$T = 2 \times 1012 = 2024$.