Toán

Một hộp có 6 viên bi xanh, 4 viên bi đỏ và 5 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi trong hộp, tính xác suất để 5 viên bi được chọn có đủ ba màu và số viên bi đỏ lớn hơn số viên bi vàng.

Cho hình chóp $S . A B C$ có $A B = 4 a , B C = 3 \sqrt{2} a ,$ $\hat{A B C} = 45 \circ ; \hat{S A C} = \hat{S B C} = 90 \circ$; Sin góc giữa hai mặt phẳng $\left( S A B \right)$và $\left( S B C \right)$ bằng $\dfrac{\sqrt{2}}{4} .$ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho bằng

Cho phương trình  $4\log_2^2{x} + \log_2{x} - 5 = 0$ có  $\sqrt{7^x - m} = 0$ (với  $m$ là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của  $m$ để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt?

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y = \left|\right. 3 x^{4} - m x^{3} + 6 x^{2} + m - 3 \left|\right.$ đồng biến trên khoảng $\left( 0 ; + \infty \right)$?

Cho hình thang ABCD vuông tại A và D có $C D = 2 A B = 2 A D = 6 .$ Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh ra bởi hình thang ABCD khi quanh xung quanh đường thẳng BC.

Cho khối lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có đáy $A B C$ là tam giác vuông cân tại $B$ và $A C = 2 a$. Hình chiếu vuông góc của $A^{'}$ trên mặt phẳng $\left( A B C \right)$ là trung điểm $H$ của cạnh $A B$ và $A A^{'} = a \sqrt{2}$. Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ đã cho.

Có bao nhiêu cặp số nguyên $\left( x ; y \right)$ thỏa mãn $0 \leq x \leq 4000$ và $5 \left( \left(25\right)^{y} + 2 y \right) = x + \left(log\right)_{5} \left(\left( x + 1 \right)\right)^{5} - 4$?

Cho đồ thị $\left( C \right) : y = \dfrac{x + 2}{x - 1}$. Gọi $A , \textrm{ } B , \textrm{ } C$ là ba điểm phân biệt thuộc $\left( C \right)$ sao cho trực tâm $H$của tam giác $A B C$ thuộc đường thẳng $\Delta : y = - 3 x + 10$. Độ dài đoạn thẳng $O H$ bằng

Cho hình lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có cạnh bằng $a$. Gọi $\alpha$là góc giữa $\left( A C D^{'} \right)$ và $\left( A B C D \right)$. Giá trị của $tan \alpha$bằng:

Cho khối lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có $A B = 3 a ,$ $A C = 4 a ,$ $B C = 5 a ,$khoảng cách giữa hai đường thẳng $A B$ và $B^{'} C^{'}$ bằng $2 a .$ Gọi $M ,$ $N$ lần lượt là trung điểm của $A^{'} B^{'}$ và $A^{'} C^{'} ,$ (tham khảo hình vẽ dưới đây). Thể tích $V$ của khối chóp $A . B C N M$ là